Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，0＜q＜

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2

，且對任意正整數(shù)k，a_k-（a_k+1+a_k+2）仍是該數(shù)列中的某一項，則公比q為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項公式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件知an=qn-1，a_k-（a_k+1+a_k+2）=q^k-1（1-q-q²），從而得到1-q-q²=q，由此能求出q=

2

-1．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，0＜q＜

1

2

，
且對任意正整數(shù)k，a_k-（a_k+1+a_k+2）仍是該數(shù)列中的某一項，
∴an=qn-1，
a_k-（a_k+1+a_k+2）=q^k-1-（q^k+q^k+1）
=q^k-1（1-q-q²）．
∵a_n都是q的幾次方的形式，
∴1-q-q²應(yīng)該也是q的幾次方的形式，
∵0＜q＜

1

2

，∴

1

4

＜1-q-q²＜1，
∴1-q-q²只有可能等于q，
由1-q-q²=q，得q²+2q-1=0，
解得q=

2

-1．
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．