設(shè)f(x)=log2,F(x)=+f(x). 
(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性定義,給出證明;
(2)若f(x)的反函數(shù)為f1(x),證明: 對任意的自然數(shù)n(n≥3),都有f1(n)>;
(3)若F(x)的反函數(shù)F-1(x),證明: 方程F-1(x)=0有惟一解.
(1) F(x)在(-1,1)上是增函數(shù),(2)證明略 (3)證明略
(1)由>0,且2-x≠0得F(x)的定義域為(-1,1),
設(shè)-1<x1x2<1,則
F(x2)-F(x1)=()+()
,
x2x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2項中對數(shù)的真數(shù)大于1.
因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1,1)上是增函數(shù). 
(2)證明: 由y=f(x)= 2y=,
f1(x)=,∵f(x)的值域為R,∴f-1(x)的定義域為R.
當(dāng)n≥3時,
f-1(n)>.
用數(shù)學(xué)歸納法易證2n>2n+1(n≥3),證略.
(3)證明:∵F(0)=,∴F1()=0,∴x=F1(x)=0的一個根.
假設(shè)F1(x)=0還有一個解x0(x0),則F-1(x0)=0,于
F(0)=x0(x0). 這是不可能的,故F-1(x)=0有惟一解.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

過點P(-1,2)且與曲線y=3-4+2在點M(1,1)處的切線平行的直線方程是__________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,專家發(fā)現(xiàn),學(xué)生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化,講課開始時,學(xué)生的興趣激增;中間有一段時間,學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài),隨后學(xué)生的注意力開始分散,設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力隨時間t(分鐘)的變化規(guī)律(f(t)越大,表明學(xué)生注意力越集中),經(jīng)過實驗分析得知:

(1)講課開始后多少分鐘,學(xué)生的注意力最集中?能持續(xù)多少分鐘?
(2)講課開始后5分鐘與講課開始后25分鐘比較,何時學(xué)生的注意力更集中?
(3)一道數(shù)學(xué)難題,需要講解24分鐘,并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180,那么經(jīng)過適當(dāng)安排,老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

f(x)為奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又f(-3)=0,則xf(x)<0的解集為_________. 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x)。某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置,生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為(單位:元),其成本函數(shù)為(單位:元),利潤是收入與成本之差。
(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);
(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相等的最大值?
(3)你認(rèn)為本題中邊際利潤函數(shù)MP(x)取最大值的實際意義是什么?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分16分)函數(shù)其中為常數(shù),且函數(shù)的圖像在其與坐標(biāo)軸的交點處的切線互相平行
(1)、求函數(shù)的解析式
(2)、若關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)生產(chǎn)x個單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C(x)=8+x2,則生產(chǎn)8個單位產(chǎn)品時,邊際成  本是
A.2B.8
C.10D.16

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知曲線y=x5上一點M處的切線與直線y=3-x垂直,則此切線方程只能是
A.5x+5y-4="0"B.5x-5y-4=0
C.5x-5y+4="0"D.5x-5y±4=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

定義域和值域均為(常數(shù))的函數(shù)的圖像如圖所示,給出下列四個命題:

(1)方程有且僅有三個解;
(2)方程有且僅有三個解;
(3)方程有且僅有九個解;
(4)方程有且僅有一個解。
那么,其中正確命題的個數(shù)是            。

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