Question

有甲、乙兩種相互獨立的預防措施可以降低某地區(qū)某災情的發(fā)生．單獨采用甲、乙預防措施后，災情發(fā)生的概率分別為0.08和0.10，且各需要費用60萬元和50萬元．在不采取任何預防措施的情況下發(fā)生災情的概率為0.3．如果災情發(fā)生，將會造成800萬元的損失．（設總費用=采取預防措施的費用+可能發(fā)生災情損失費用）
（ I）若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用，他們各自總費用是多少？
（ II）若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少的那個方案．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（ I）若單獨采用甲預防措施，可能發(fā)生災情的損失費用的期望值為0×0.92+800×0.08=64萬元，若單獨采用乙預防措施，可能發(fā)生災情的損失費用的期望值為0×0.9+800×0.1=80萬元，由此能求出結果．
（ II）若實施聯(lián)合采用方案，設可能發(fā)生災情的損失費用為X，則X=0和800，由此能求出選擇聯(lián)合預防措施的方案總費用最少．

解答： （本小題滿分12分）
解：（ I）若單獨采用甲預防措施，可能發(fā)生災情的損失費用的期望值為：
0×0.92+800×0.08=64（萬元），（2分）
若單獨采用乙預防措施，可能發(fā)生災情的損失費用的期望值為
0×0.9+800×0.1=80（萬元）．（4分）
所以，單獨采用甲預防措施的總費用為124萬元，
單獨采用乙預防措施的總費用為130萬元．（6分）
（ II）若實施聯(lián)合采用方案，設可能發(fā)生災情的損失費用為X，則X=0和800，
且P（X=800）=0.08×0.1=0.008，
P（X=0）=1-P（X=800）=0.992．
所以，可能發(fā)生災情的損失費用的期望值為6.4萬元，因此總費用為116.4萬元．（9分）
若不采取措施，則可能發(fā)生災情的損失費用的期望值為
0×0.7+800×0.3=240萬元．
可知此時的總費用為240萬元．（11分）
綜上，選擇聯(lián)合預防措施的方案總費用最少．（12分）

點評：本題考查概率、隨機變量分布列以及數(shù)學期望等基礎知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力，是中檔題．