Question

橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，點(diǎn)P在C上且直線PA₂的斜率的取值范圍是[-3，-1]，那么直線PA₁斜率的取值范圍是（　�。�

• A、[

  1

  4

  ，

  3

  4

  ]
• B、[

  1

  2

  ，

  3

  4

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[

  3

  4

  ，1]

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1可知其左頂點(diǎn)A₁（-2，0），右頂點(diǎn)A₂（2，0）．設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±2），代入橢圓方程可得

y02

x02-4

=-

3

4

．記直線PA₁的斜率為k₁，直線PA₂的斜率為k₂，則k₁k₂=

y02

x02-4

=-

3

4

，再利用已知給出的直線PA₂斜率的取值范圍是[-3，-1]，即可解出．

解答： 解：由橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1可知其左頂點(diǎn)A₁（-2，0），右頂點(diǎn)A₂（2，0）．
設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則得

y02

x02-4

=-

3

4

．
記直線PA₁的斜率為k₁，直線PA₂的斜率為k₂，則k₁k₂=

y02

x02-4

=-

3

4

∵直線PA₂斜率的取值范圍是[-3，-1]，
∴直線PA₁斜率的取值范圍是[

1

4

，

3

4

]
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式、不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．