Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

5

，一條漸近線的傾斜角為α，m=|tanα|，當(dāng)

b2+m

a

取得最小值時(shí)，雙曲線的焦距為（　　）

• A、

  2

• B、

  2

  2

• C、

  10

• D、

  10

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

5

，可得

b

a

=2，進(jìn)而

b2+m

a

=4a+

2

a

≥2

4a• 2 a

=4

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

5

，
∴1+(

b

a

)2=5，
∴

b

a

=2，
∵一條漸近線的傾斜角為α，m=|tanα|，
∴m=2，
∴

b2+m

a

=4a+

2

a

≥2

4a• 2 a

=4

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)4a=

2

a

，即a=

2

2

時(shí)，

b2+m

a

取得最小值，
∴c=

10

2

，
∴2c=

10

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．