Question

對任意函數(shù)f（x），x∈D，可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：
①輸入數(shù)據(jù)x₀∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x₁=f（x₀）；
②若x₁∉D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f（x₁），并依此規(guī)律繼續(xù)下去．現(xiàn)定義f（x）=

4x-2

x+1

（1）若輸出x₀=

49

65

，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{x_n}．請寫出數(shù)列{x_n}的所有項；
（2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)數(shù)列，試求輸出的初始數(shù)據(jù)x₀的值；
（3）是否存在 x₀，在輸入數(shù)據(jù)x₀時，該數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個各項均為負數(shù)的無窮數(shù)列？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：程序框圖

專題：壓軸題

分析：（1）利用f（x）=

4x-2

x+1

，x₀=

49

65

及工作原理，注意函數(shù)的定義域，直接可求得數(shù)列{x_n}的只有三項；
（2）要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，則有f（x）=

4x-2

x+1

，從而求出相應(yīng)的初始數(shù)據(jù)x₀的值；
（3）設(shè) x₀＜0，（n∈N^*），驗證可知同時x₁，x₂，x₃使為負數(shù)的x₀不存在，故所求的x₀不存在．

解答： 解：（1）因為f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），所以數(shù)列{x_n}只有三項x₁=

11

19

，x₂=

1

5

，x₃=-1．
（2）因為f（x）=

4x-2

x+1

，即x²-3x+2=0，所以x=1或x=2，即x₀=1或x₀=2時，xn+1=

4xn-2

xn+1

=xn，
故當x₀=1時，x_n=1；當x₀=2時，x_n=2（n∈N^*）．
（3）設(shè) x₀＜0，（n∈N^*）
由x₁=

4x0-2

x0+1

＜0，得-1＜x0＜

1

2

；
由x₂=

14x0-10

5x0-1

＜0，得

1

5

＜x0＜

5

7

；
由x₃=

2(23x0-19)

19x0-11

＜0，得

11

19

＜x0＜

19

23

．
∵

1

2

＜

11

19

∴同時x₁，x₂，x₃使為負數(shù)的x₀不存在，故所求的x₀不存在．

點評：本題是數(shù)列與算法的簡單結(jié)合，應(yīng)搞清算法原理，將問題等價轉(zhuǎn)化，有一定的難度．