Question

如圖，已知F是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，平面ABCD⊥平面DEC，ED=

3

，DC=1，EC=2，∠DAB=60°
（1）求證：AC⊥平面EDB；
（2）求二面角A-EB-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AC⊥BD，DE⊥DC，DE⊥AC，由此能證明AC⊥平面EDB．
（2）以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)B為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-EB-C的余弦值．

解答： （1）證明：∵F是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴AC⊥BD，
∵ED=

3

，DC=1，EC=2，∠DAB=60°，
∴DE⊥DC，又平面ABCD⊥平面DEC，
∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，
∴AC⊥平面EDB．
（2）以F為原點(diǎn)，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)B為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵ED=

3

，DC=1，EC=2，∠DAB=60°，
∴A（

3

2

，0，0），E（0，-

1

2

，

3

），
B（0，

1

2

，0），C（-

3

2

，0，0），

EA

=（

3

2

，

1

2

，-

3

），

EB

=（0，1，-

3

），

EC

=（-

3

2

，

1

2

，-

3

），
設(shè)平面AEB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • EA = 3 2 x+ 1 2 y- 3 z=0 n • EB =y- 3 z=0

，
取z=

3

，得

n

=（

3

，3，

3

），
設(shè)平面CEB的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • EB =b- 3 c=0 m • EC =- 3 2 a+ 1 2 b- 3 c=0

，
取c=

3

，得

m

=（-

3

，3，

3

），
設(shè)二面角A-EB-C的平面角為θ，
cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-|

-3+9+3

3+9+3 • 3+9+3

|=-

3

5

．
∴二面角A-EB-C的余弦值為-

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．