Question

【題目】函數(shù)滿足，.

（1）若，，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若有三個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】

（1）由得，求導，構(gòu)造新函數(shù)，討論確定導函數(shù)的符號進而確定函數(shù)的最值

（2）利用（1）的討論判斷函數(shù)的單調(diào)性確定零點個數(shù)進而求得的取值范圍

（1）∵，∴，∴.

，令，

時，，則，在上單調(diào)遞增，

∴，，則不合題意；

時，，則，在上單調(diào)遞減，時，，時，，∴，符合題意；

時，令，設(shè)根為、，則，，

不妨設(shè)，則有，當時，，則，

在上單調(diào)遞增，，，則，不合題意.

綜上所述，.

（2）時，由（1）在上單調(diào)遞增，至多一零點，不合題意；

時，由（1）在上單調(diào)遞減，至多一零點，不合題意；

時，由（1）在上遞減，上遞增，上遞減，此時至多三零點，在上遞增，，

令，則，當時，，

令，則，，

當時，；當，，

∴在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

∴，∴在上單調(diào)遞增，

∴，∴，∴，

又，∴，

當時，，∴當時，，

∴，，又，，∴存在三個零點，

綜上所述，