Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，且側(cè)棱垂直于底面，由B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC₁到點(diǎn)A₁的最短路線長為2

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，設(shè)這條最短路線與交于點(diǎn)D．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長；
（2）求四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積；
（3）在平面A₁BD內(nèi)是否存在過點(diǎn)D的直線與平面ABC平行？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）把三棱柱沿AA₁剪開，并展開如圖所示，則BE=2

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，設(shè)棱長為a，在Rt△BEF中，4a²+a²=20，所以求得a=2；
（2）過A₁作B₁C₁的垂線A₁G，則容易說明A₁G就是四棱錐A₁-BCC₁B₁2高，所以根據(jù)四棱錐的體積公式即可求該四棱錐的體積；
（3）取A₁C的中點(diǎn)H，取A₁B的中點(diǎn)O，依次連接DH，HO，OD，則容易說明OD就是所找直線．

解答： 解：（1）將三棱柱沿AA₁剪開并展開和平面BCC₁B₁重合，如圖所示，A₁點(diǎn)變成了E點(diǎn)，連接AE，與CC₁的交點(diǎn)就是D點(diǎn)，線段BE的長便是B到A₁的最短距離；
∴BE=2

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，設(shè)三棱柱的棱長為a，則：由圖可知，(2a)2+a2=(2

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)2，∴a=2；
即三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為2；
（2）過A₁作A₁G⊥B₁C₁，垂足為G，∵側(cè)棱垂直于底面，∴BB₁⊥A₁G，即A₁G⊥BB₁，又A₁G⊥B₁C₁；
∴A₁G⊥平面BCC₁B₁，即A₁G是四棱錐A₁-BCC₁B₁的底面上的高，且A1G=

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，S底面BCC1B1=4；
∴四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積V=

4 3

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；
（3）連接A₁C，取A₁C的中點(diǎn)H，連接DH，∵D是CC₁的中點(diǎn)，∴DH∥AC，AC?平面ABC，DH?平面ABC，∴DH∥平面ABC；
取A₁B的中點(diǎn)O，連接HO，則HO∥BC，BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC，HO∩DH=H；
∴平面DHO∥平面ABC，連接OD，則OD∥平面ABC；
即在平面A₁BD內(nèi)存在過點(diǎn)D的直線OD與平面ABC平行．

點(diǎn)評(píng)：考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理．