Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=

1- 1 2x ，x＞0 (a-1)x+1，x≤0

．
（1）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）求函數(shù)f（x）的零點．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
（2）由（1）可知：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無零點；
當(dāng)x≤0時，f（x）=（a-1）x+1，對a分類討論，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： （1）證明：?0＜x₁＜x₂，則0＜2x1＜2x2．
∴f（x₁）-f（x₂）=1-

1

2x1

-(1-

1

2x2

)=

2x1-2x2

2x1+x2

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）解：由（1）可知：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無零點；
當(dāng)x≤0時，f（x）=（a-1）x+1，
a＞1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（x）≤f（0）=1，存在一個零點，x=-

1

a-1

；
當(dāng)a=1時，f（x）=1，無零點；
當(dāng)a＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，f（x）≥f（0）=1，不存在一個零點．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法、分段函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．