Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C所對邊，a+b=4，（2﹣cosA）tan =sinA．
（1）求邊長c的值；
（2）若E為AB的中點，求線段EC的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan =sinA，a+b=4，

∴（2﹣cosA） =sinA，

即2sinC=sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinA+sinB，

∴由正弦定理可得：2c=a+b=4，

∴c=2．

（2）∵c=2，E為AB的中點，

∴由余弦定理可得：CE2=AE2+AC2﹣2AEACcosA=a2+1﹣2acosB，

CE2=BE2+BC2﹣2BEBCcosB=b2+1﹣2bcosA，

∴兩式相加可得：CE2= ，

又∵cosB= ，cosA= ，a=4﹣b，

∴ ，

又∵ ，

∴1＜b＜3，

∴ ．

【解析】(1)由已知利用半角公式化簡條件式子，再根據(jù)正弦定理結(jié)合已知即可解得c的值。（2）利用已知以及余弦定理可得出 ,再結(jié)合可得出b的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出 C E的范圍。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．