Question

函數(shù)f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，利用二次函數(shù)的根，通過a的范圍討論f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+3x²+3x，∴f′（x）=3ax²+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax²+6x+3=0，則△=36（1-a）
①若a≥1時(shí)，則△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1，△＞0，f′（x）=0方程有兩個(gè)根，x₁=

-1+ 1-a

a

，x₂=

-1- 1-a

a

，
則當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則當(dāng)x∈（-∞，x₂）或（x₁，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（x₂，x₁）時(shí)，f′（x）＜0．
故函數(shù)在（-∞，x₂），（x₁，+∞）是增函數(shù)；在（x₂，x₁）是減函數(shù)．
（2）當(dāng)a＞0，x＞0時(shí)，f′（x）=3ax²+6x+3＞0，
故a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)：f′（1）≥0且f′（2）≥0，即有3a+9≥0且12a+15≥0，
解得-

5

4

≤a＜0，
故a的取值范圍[-

5

4

，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及已知單調(diào)性求解函數(shù)中的變量的范圍，考查分類討論思想的應(yīng)用．