Question

設(shè)函數(shù)y=

1+2x+a•4x

，若函數(shù)在（-∞，1]上有意義，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：使用換元令t=2^x，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)y=1+t+at²進行求解．

解答： 解：設(shè)t=2^x，因為x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
則原函數(shù)有意義等價于1+t+at²≥0，所以a≥-

1+t

t2

．
設(shè)f（t）=-

1+t

t2

，則f（t）=-

1+t

t2

=-（

1

t

+

1

2

）²+

1

4

，
因為0＜t≤2，所以

1

t

∈[

1

2

，+∞），所以f（t）≤f（

1

2

）=-

3

4

，
所以a≥-

3

4

．
故答案為：[-

3

4

，+∞）．

點評：本題考查了與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的最值問題，通過換元，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，對應(yīng)不等式恒成立問題通常是轉(zhuǎn)化為含參問題恒成立，即求函數(shù)的最值問題．