Question

求證：關(guān)于x的方程x²+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是m≥2．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)韋達(dá)定理證明充分性，必要性，從而得出它們的正確性，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）充分性：∵m≥2，∴△=m²-4≥0，
方程x²+mx+1=0有實(shí)根，
設(shè)x²+mx+1=0的兩根為x₁，x₂，
由韋達(dá)定理知：x₁x₂=1＞0，∴x₁、x₂同號(hào)，
又∵x₁+x₂=-m≤-2，
∴x₁，x₂同為負(fù)根．
（2）必要性：∵x²+mx+1=0的兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂均為負(fù)，且x₁•x₂=1，
∴m-2=-（x₁+x₂）-2=-(x1+

1

x1

)-2
=-

x12+2x1+1

x1

=-

(x1+1)2

x1

≥0．
∴m≥2．綜上（1），（2）知命題得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了充分必要條件，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，韋達(dá)定理，是一道中檔題．