Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x-1

，
（Ⅰ）求f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，5）上的單調(diào)性，并用定義來證明所得結(jié)論．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，由此能求出f（x）的定義域和值域．
（Ⅱ）由函數(shù)解析式得該函數(shù)在（2，5）是減函數(shù)，利用定義法能進行證明．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

x

x-1

=

x-1+1

x-1

=1+

1

x-1

，
∴f（x）的定義域為{x|x≠1}，
值域為{y|y≠1}．
（Ⅱ）由函數(shù)解析式得該函數(shù)在（2，5）是減函數(shù)，
下面證明此結(jié)論：
任取x₁，x₂∈（2，5），設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵2＜x₁＜x₂＜5，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．

點評：本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，是基礎(chǔ)題，解題時要注意定義法的合理運用．