Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M，N分別是棱BB₁，DD₁的中點．
（Ⅰ）求異面直線A₁M與B₁C所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求證：平面A₁MC₁⊥平面B₁NC₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由A₁D∥B₁C，又MA₁=

2

，A₁D=

5

，MD=

3

，可得cos∠MA₁D=

10

5

．
（Ⅱ）取AA₁的中點P，聯(lián)結(jié)B₁P，NP，MP，則B₁P∥C₁N，可得A₁M⊥B₁P，A₁M⊥C₁N，又B₁C₁⊥平面A₁B，A₁M?平面A₁B，可得A₁M⊥平面B₁NC₁．從而可證平面A₁MC₁⊥平面B₁NC₁．

解答： 解：（Ⅰ）∵A₁D∥B₁C，∴∠MA₁D是異面直線A₁M與B₁C所成的角（或補角）．
又MA₁=

2

，A₁D=

5

，MD=

3

，
∴cos∠MA₁D=

10

5

．
∴A₁M與B₁C所成的角的余弦值為

10

5

 …（4分）
（Ⅱ）取AA₁的中點P，聯(lián)結(jié)B₁P，NP，MP，則B₁PNC₁為平行四邊形，∴B₁P∥C₁N
又A₁B₁MP₁為正方形，∴A₁M⊥B₁P，∴A₁M⊥C₁N，
又B₁C₁⊥平面A₁B，A₁M?平面A₁B，∴B₁C₁⊥A₁M，
∴A₁M⊥平面B₁NC₁．
又A₁M?平面A₁MC₁，∴平面A₁MC₁⊥平面B₁NC₁．…（8分）
（注意：若用向量法相應(yīng)給分）

點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，平面與平面垂直的判定，屬于基本知識的考查．