Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x+acos2x圖象的一條對(duì)稱軸是x=

π

12

，則下列說(shuō)法中正確的是（　�。�

• A、f（x）的最大值為1-

  3

• B、f（x）在[0，

  π

  2

  ]上單調(diào)遞增
• C、f（x）在[-

  π

  4

  ，0]上單調(diào)遞增
• D、（

  π

  12

  ，0）為函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將函數(shù)y=f（x）化簡(jiǎn)整理，得f（x）=

1+a2

sin（2x+θ），由x=

π

12

是圖象的對(duì)稱軸，得θ=

π

3

+kπ（k∈Z），可解得a的值，從而即可得f（x）的解析式，從而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得解．

解答： 解：∵根據(jù)輔助角公式，得f（x）=sin2x+acos2x=

1+a2

sin（2x+θ），其中θ是滿足tanθ=a一個(gè)角
∵函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸是x=

π

12

，
∴f（

π

12

）是函數(shù)的最值，得2•

π

12

+θ=

π

2

+kπ（k∈Z）
由此可得：θ=

π

3

+kπ（k∈Z），得a=tanθ=

3

∴f（x）=

1+a2

sin（2x+θ）=2sin（2x+

π

3

+kπ）（k∈Z），
∴f（x）的最大值為2，故A不正確；
∴由2sin（2×

π

12

+

π

3

+kπ）≠0，可知D不正確；
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

+kπ≤2kπ+

π

2

可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：x∈[kπ-

5π

12

-

kπ

2

，kπ+

π

12

-

kπ

2

]，（k∈Z），當(dāng)k=0時(shí)，有x∈[-

5π

12

，

π

12

]，
由于[-

π

4

，0]?[-

5π

12

，

π

12

]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．