Question

已知函數(shù)f（x）=(

1

3

)x．
（1）如果x∈[-1，1]時，求函數(shù)y=（f（x））²-2af（x）+3的最小值y（a）；
（2）若a∈[-4，4]時，在（1）的條件下，求y（a）的值域．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調性,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用換元法，結合二次函數(shù)的性質即可求函數(shù)y=（f（x））²-2af（x）+3的最小值y（a）；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調性即可得到結論．

解答： 解：令t=(

1

3

)x，∵x∈[-1，1]，
∴t∈[

1

3

，3]，則函數(shù)等價為y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，
（1）若a＜

1

3

，則函數(shù)在t∈[

1

3

，3]上單調遞增，則函數(shù)的最小值為y（a）=y（

1

3

）=

28

9

-

2a

3

，
當

1

3

≤a≤3，函數(shù)的最小值為y（a）=3-a²，
若a＞3，則函數(shù)在t∈[

1

3

，3]上單調遞減，則函數(shù)的最小值為y（a）=y（3）=12-6a．
故y（a）=

28 3 - 2a 3 a＜ 1 3 3-a2 1 3 ≤a≤3 12-6a a＞3

．
（2）作出函數(shù)y（a）的圖象，則函數(shù)y（a）在a∈[-4，4]為減函數(shù)，
當a∈[-4，

1

3

]，則y（a）∈（f（

1

3

），f（-4）]，
即y（a）∈（

82

9

，12]，
當a∈[

1

3

，3]，則y（a）∈[f（3），f（

1

3

）]，
即y（a）∈[-6，

26

9

]，
當a∈（3，4]，則y（a）∈[f（4），f（3）），
即y（a）∈[-12，-6），
綜上y（a）∈[-12，

26

9

]∪（

82

9

，12]，
故函數(shù)y（a）的值域為[-12，

26

9

]∪（

82

9

，12]．

點評：本題主要考查復合函數(shù)之間的應用，利用換元法結合二次函數(shù)的性質是解決本題的關鍵．