Question

如圖。在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中點(diǎn)。

（I）求證：A₁B∥平面AMC₁；

（II）求直線CC₁與平面AMC₁所成角的正弦值；

（Ⅲ）試問：在棱A₁B₁上是否存在點(diǎn)N，使AN與MC₁成角60°？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I）由線線平行證得線面平行 （II）（Ⅲ）.在棱上存在棱的中點(diǎn)，使與成角.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中，

是三角形的中位線，

所以∥,

又因平面，

所以∥平面. 

（Ⅱ）（法一）設(shè)直線與平面所成角為，

點(diǎn)到平面的距離為，不妨設(shè)，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051708421515958357/SYS201305170842382532934665_DA.files/image023.png">,，

所以.                

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051708421515958357/SYS201305170842382532934665_DA.files/image026.png">，

所以,.

.

，

，.     

（法二）如圖以所在的直線為軸, 以所在的直線為軸, 以所在的直線為軸，以的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系.

則,,,，,,.設(shè)直線與平面所成角為，平面的法向量為.則有,,，

令,得，

設(shè)直線與平面所成角為，

則.               

（Ⅲ）假設(shè)直線上存在點(diǎn)，使與成角為.

設(shè)，則，.

設(shè)其夾角為，

所以，

，

，或（舍去），

故.所以在棱上存在棱的中點(diǎn)，使與成角.

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．

點(diǎn)評(píng)：此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面垂直的判斷，第一問此類問題一般先證明兩個(gè)面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，難度比較大，計(jì)算要仔細(xì)．