Question

【題目】在四棱錐中，底面ABCD，，AB∥DC，，，點E為棱PC中點。

（1）證明：平面PAD；

（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F為棱PC上一點，滿足，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）取PD中點M，連接EM，AM，推導出四邊形ABEM為平行四邊形，由此能證明BE∥平面ADP，（2）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面PBD的一個法向量，代入向量夾角公式，可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（3）根據BF⊥AC，求出向量的坐標，進而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

（1）如圖，取PD中點M，連接EM，AM．

∵E，M分別為PC，PD的中點，∴EM∥DC，且EMDC，

又由已知，可得EM∥AB，且EM＝AB，

∴四邊形ABEM為平行四邊形，∴BE∥AM．

∵AM平面PAD，BE平面PAD，

∴BE∥平面ADP．

（2）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．

∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）

∵（﹣1，2，0），（1，0，﹣2），

設平面PBD的法向量（x，y，z），

由，得，

令y＝1，則（2，1，1），

則直線BE與平面PBD所成角θ滿足：

sinθ，

故直線BE與平面PBD所成角的正弦值為．

（3）∵（1，2，0），（﹣2，﹣2，2），（2，2，0），

由F點在棱PC上，設λ（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

故（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

由BF⊥AC，得2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0，

解得λ，

即（，，），

設平面FBA的法向量為（a，b，c），

由，得

令c＝1，則（0，﹣3，1），

取平面ABP的法向量（0，1，0），

則二面角F﹣AB﹣P的平面角α滿足：

cosα，

故二面角F﹣AB﹣P的余弦值為：