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16.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c.已知a=2c,且A-C=\frac{π}{2}
(1)求sinC的值;
(2)當(dāng)b=1時(shí),求△ABC外接圓的半徑.

分析 (1)由已知利用正弦定理可得sinA=2sinC,利用誘導(dǎo)公式可得sinA=cosC,聯(lián)立,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可解得sinC.
(2)由(1)結(jié)合余弦定理并利用大邊對(duì)大角可得c>\frac{1}{2},解得c的值,利用正弦定理即可得解△ABC外接圓的半徑.

解答 (本題滿分為10分)
解:(1)∵a=2c,∴sinA=2sinC①,----------(1分)
又∵A-C=\frac{π}{2},∴sinA=sin(C+\frac{π}{2})=cosC②,----------(3分)
聯(lián)立①②,即可求得cosC=\frac{2\sqrt{5}}{5};sinC=\frac{\sqrt{5}}{5}.-----------(5分)
(2)由(1)結(jié)合余弦定理可知,c2=a2+b2-2abcosC,
可得:c2=4c2+1-2×2c×1×\frac{2\sqrt{5}}{5},解得:c=\frac{\sqrt{5}}{3}或c=\frac{\sqrt{5}}{5},---------(7分)
∵由已知易得A>\frac{π}{2},
∴a>b,可得:2c>1,即:c>\frac{1}{2}
∴c=\frac{\sqrt{5}}{3},---------(8分)
∵2R=\frac{c}{sinC}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{5}{3},
∴R=\frac{5}{6}.----------(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,余弦定理,大邊對(duì)大角在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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