Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-3，5]．
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）求實數(shù)a的范圍，使f（x）在區(qū)間[-3，5]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x））=（x-1）²+1，x∈[-3，5]，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是直線x=-a，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x））=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-3，5]．
∴f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（-3）=f（5）=17．
（2）函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸是直線x=-a，當(dāng)-a≥5時，即a≤-5時，函數(shù)f（x）在[-3，5]上單調(diào)遞減；
當(dāng)-a≤-3時，即a≥3時，函數(shù)f（x）在[-3，5]上單調(diào)遞增，
故要求的a的范圍為[3，+∞）∪（-∞，-5]．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．