Question

（2013•江門一模）（幾何證明選講選做題）如圖，圓O內(nèi)的兩條弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距離為4，則O到CD的距離為

7

．

Answer 1

分析：取AD中點(diǎn)M，連接OD、OM、OP、OA，可得OM⊥CD且OP⊥AB．Rt△OPA中運(yùn)用勾股定理算出OA=4

2

，根據(jù)相交弦定理和題中數(shù)據(jù)算出弦CD=10，從而在Rt△OMD中用勾股定理算出OM=

7

，即得圓心O到CD的距離．

解答：解：取AD中點(diǎn)M，連接OD、OM、OP、OA，
根據(jù)圓的性質(zhì)，OM⊥CD，OM即為O到CD的距離
∵PA=PB=4，即P為AB中點(diǎn)，
∴OP⊥AB，可得OP=4．
Rt△OPA中，OA=

OP2+AP2

=4

2

∵PA=PB=4，PD=4PC，
∴由PA•PB=PC•PD，即4²=4PC²，可得PC=2
因此，PD=4PC=8，得CD=10
∴Rt△OMD中，DM=

1

2

CD=5，OD=OA=4

2

可得OM=

OD2-DM2

=

7

故答案為：

7

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓的相交弦，在已知交點(diǎn)分弦的比值情況下求弦到圓心的距離，著重考查了相交弦定理、垂徑定理等圓的常用性質(zhì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．