【答案】
分析:(Ⅰ)不妨設(shè)a≤b≤c,由a+b>c,能推出f
1(a)+f
1(b)>c=f
1(c),可得f
1(x)是“保三角形函數(shù)”.
同理可得f
2(x)是“保三角形函數(shù)”.通過舉反列a=3,b=3,c=5,f
3(a)+f
3(b)=f
3(c),
故f
3(x)不是“保三角形函數(shù)”.
(Ⅱ)當(dāng)x=0時(shí),g(x)=1;當(dāng)x>0時(shí),
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,當(dāng)k>-1時(shí),g(x)∈(1,k+2],
由“恒三角形函數(shù)”的定義,1+1>k+2,k<0,故 有-1<k<0.
當(dāng)k<-1時(shí),g(x)∈[k+2,1],解

,得
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,所以,

.
將以上兩個(gè)范圍取并集.
(Ⅲ)因?yàn)榇嬖谡龑?shí)數(shù)a,b,c,使得h(a)=1,h(b)=1,h(c)=2,故h(x)不是“恒三角形函數(shù)”.
由周期函數(shù)的定義,存在n>m>0,使得h(m)=1,h(n)=2,a,b,c是一個(gè)三角形的三邊長,但因?yàn)?br />h(a)=h(b)=h(m)=1,h(c)=h(n)=2,故h(a),h(b),h(c)不是一個(gè)三角形的三邊長,
h(x)也不是“保三角形函數(shù)”.
解答:解:(Ⅰ)對于f
1(x)=x,它在(0,+∞)上是增函數(shù),
不妨設(shè)a≤b≤c,則f
1(a)≤f
1(b)≤f
1(c),因?yàn)閍+b>c,
所以f
1(a)+f
1(b)=a+b>c=f
1(c),故f
1(x)是“保三角形函數(shù)”(2分)
對于
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,它在(0,+∞)上是增函數(shù),
不妨設(shè)a≤b≤c,則f
2(a)≤f
2(b)≤f
2(c),因?yàn)閍+b>c,
所以
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
=f
2(c),
故f
2(x)是“保三角形函數(shù)”(4分)
對于f
3(x)=3x
2,取a=3,b=3,c=5,顯然a,b,c是一個(gè)三角形的三邊長,
但因?yàn)閒
3(a)+f
3(b)=3×(3
2+3
2)<3×5
2=f
3(c),
所以,f
3(a)、f
3(b)、f
3(c)不是三角形的三邊長,故f
3(x)不是“保三角形函數(shù)”(6分)
(Ⅱ)∵

,
∴當(dāng)x=0時(shí),g(x)=1; 當(dāng)x>0時(shí),

.
當(dāng)k>-1時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212549379831654/SYS201310232125493798316019_DA/9.png">,
所以,g(x)∈(1,k+2],
從而當(dāng)k>-1時(shí),g(x)∈[1,k+2],由1+1>k+2,得k<0,所以,-1<k<0(9分)
當(dāng)k<-1時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212549379831654/SYS201310232125493798316019_DA/10.png">,
所以,g(x)∈[k+2,1),
從而當(dāng)k<-1時(shí),g(x)∈[k+2,1],由

,
得

,所以,

,
綜上所述,所求k的取值范圍是:

.(11分)
(Ⅲ)①因?yàn)閔(x)的值域?yàn)椋?,+∞),∴存在正實(shí)數(shù)a,b,c,
使得h(a)=1,h(b)=1,h(c)=2,
顯然這樣的h(a),h(b),h(c)不是一個(gè)三角形的三邊長,
故h(x)不是“恒三角形函數(shù)”(13分)
②因?yàn)閔(x)是值域?yàn)椋?,+∞)的周期函數(shù),所以存在n>m>0,
使得h(m)=1,h(n)=2,
設(shè)h(x)的最小正周期為T(T>0),
令a=b=m+kT,c=n,其中k∈N
*,且

,
則a+b>c,又顯然b+c>a,c+a>b,所以a,b,c是一個(gè)三角形的三邊長,
但因?yàn)閔(a)=h(b)=h(m)=1,h(c)=h(n)=2,
所以h(a),h(b),h(c)不是一個(gè)三角形的三邊長,
故h(x)也不是“保三角形函數(shù)”(16分)
點(diǎn)評:本題考查“保三角形函數(shù)”、“恒三角形函數(shù)”的定義,函數(shù)的單調(diào)性與周期性,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.