Question

（2010•上海模擬）對(duì)于函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點(diǎn)A（a，f（a）），B（b，f（b）），設(shè)點(diǎn)C分

AB

的比為λ（λ＞0）．若函數(shù)為f（x）=x²（x＞0），則直線AB必在曲線AB的上方，且由圖象特征可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2．若函數(shù)為f（x）=log₂₀₁₀x，請(qǐng)分析該函數(shù)的圖象特征，上述不等式可以得到不等式

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²（x＞0）的圖象可知，此函數(shù)的圖象是下凹的，由圖象特征可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的特征，即可類比得到相應(yīng)的不等式．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²（x＞0）上任意兩點(diǎn)A（a，a²）、B（b，b²），線段AB在弧AB的上方，
設(shè)點(diǎn)C分

AB

的比為λ（λ＞0），則由圖象中可得不等式

a2+λb2

1+λ

＞(

a+λb

1+λ

)2
據(jù)此我們從圖象可以看出：函數(shù)f（x）=x²（x＞0）的圖象是向下凹的，
類比對(duì)數(shù)函數(shù)可知，對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=log₂₀₁₀x的圖象是上凸的，
∴類比上述不等式，可以得到的不等式

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

．
故答案為：

log2010a+log2010b

1+λ

＜log2010

a+λb

1+λ

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是類比推理，考查函數(shù)圖象性質(zhì)的類比，解題的關(guān)鍵是分析圖象的凹凸性．