已知橢圓：的左焦點，若橢圓上存在一點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知兩點及橢圓:,過點作斜率為的直線交橢圓于兩點,設線段的中點為,連結,試問當為何值時,直線過橢圓的頂點?
(Ⅲ) 過坐標原點的直線交橢圓:于、兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結并延長交橢圓于，求證：
（Ⅰ）連接為坐標原點,為右焦點），由題意知：橢圓的右焦點為因為是的中位線，且,所以
所以，故…………2分
在中，
即,又,解得
所求橢圓的方程為．………………………4分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得橢圓:
設直線的方程為并代入
整理得:
由得:  ……………………5分
設
則由中點坐標公式得:…………………6分
①當時,有,直線顯然過橢圓的兩個頂點;………7分
②當時,則,直線的方程為
此時直線顯然不能過橢圓的兩個頂點;
若直線過橢圓的頂點,則即
所以,解得:(舍去)………………………8分
若直線過橢圓的頂點,則即
所以,解得:(舍去) ……………9分
綜上,當或或時, 直線過橢圓的頂點…………10分
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得橢圓的方程為……………………………11分
根據(jù)題意可設，則
則直線的方程為…①
過點且與垂直的直線方程為…②
①②并整理得：
又在橢圓上，所以所以
即①、②兩直線的交點在橢圓上,所以．…………14分
法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為
根據(jù)題意可設，則，，
所以直線
，化簡得
所以
因為,所以,則……………12分
所以，則,即
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù)．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分，求弦AB所在的直線方程；
（3）以曲線的左頂點為圓心作圓：，設圓與曲線交于點與點，求的最小值，并求此時圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于兩點．若C1恰好將線段三等分，則
A．a(chǎn)2 =B．a(chǎn)2="13" C．b2=D．b2=2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分15分）
已知定點A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．動點P滿足：.
（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；
（2）當時，求的最大、最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖:O方程為，點P在圓上，點D在x軸上，點M在DP延長線上，O交y軸于點N，.且
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）設，若過F1的直線交（I）中曲線C于A、B兩點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知以點C (t, )（t∈R），t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為坐標原點．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設直線y= –2x+4與圓C交于點M，N若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（3）若t＞0，當圓C的半徑最小時，圓C上至少有三個不同的點到直線l：y –的距離為，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

給出下列3個命題：①在平面內(nèi)，若動點M到、兩點的距離之和等于2，則動點M的軌跡是橢圓；②在平面內(nèi)，給出點、，若動點P滿足，則動點P的軌跡是雙曲線；③在平面內(nèi)，若動點Q到點和到直線的距離相等，則動點Q的軌跡是拋物線。其中正確的命題有(        )
A．0個B．1個C．2個D．3個

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

將曲線上各點的縱坐標縮短到原來的（橫坐標不變），所得曲線的方程是（   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

．(本小題滿分12分)
在△ABC中，頂點A（－1,0），B（1,0），動點D，E滿足：
①；②｜｜＝｜｜＝｜｜③與共線.
(Ⅰ)求△ABC頂點C的軌跡方程；
(Ⅱ) 若斜率為1直線l與動點C的軌跡交于M，N兩點，且·＝0，求直線l的方程.

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