Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）求二面角D-B₁E-C的平面角的余弦值．
（Ⅱ）在B₁C上是否存在點(diǎn)P，使PB∥平面B₁ED，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-B₁E-C的平面角的余弦值．
（Ⅱ）設(shè)P（2，λ，2-λ），則

PB

=(0，-λ，λ-2)，利用向量法能求出P是B₁C的中點(diǎn)時(shí)，PB∥平面B₁ED．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則有A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，0，0），B₁（2，0，2）

B1E

=(-1，0，-2)，

ED

=(-1，2，0)，
設(shè)平面B₁ED的法向量

n

=（a，b，c），
則

n • B1E =0 n • ED =0

，即

a+2c=0 a-2b=0

，取a=2，
則b=1，c=-1，

n

=（2，1，-1）

B1E

=(-1，0，-2)，

EC

=(1，2，0)，
設(shè)平面B₁EC的法向量

m

=（x，y，z）
由

m • B1E =0 m • EC =0

，得，

x+2z=0 x+2y=0

，取x=2，則y=z=-1，

m

=（2，-1，-1）
設(shè)二面角D-B₁E-C的平面角為θ，知0＜θ＜

π

2

，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

4-1+1

6 • 6

|=

2

3

．
（Ⅱ）設(shè)P（2，λ，2-λ），則

PB

=(0，-λ，λ-2)
∵PB?平面B₁ED，∴當(dāng)且僅當(dāng)

n

⊥

PB

，即

n

•

PB

時(shí)，PB∥平面B₁ED
∴-λ-（λ-2）=0，λ=1，∴P（2，1，1），
即P是B₁C的中點(diǎn)時(shí)，PB∥平面B₁ED．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值的求法，考查使直線與平面平行的點(diǎn)的位置的確定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．