Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E、F分別為AD₁、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面B₁D₁C；
（2）求直線(xiàn)AD₁與直線(xiàn)B₁C所成的角，
（3）求二面角B₁-D₁C-A的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線(xiàn)及其所成的角,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明EF∥平面B₁D₁C，利用線(xiàn)面平行的判定定理，只需證明EF∥D₁C；
（2）連接BC₁，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，∴BC₁∥AD₁，∴AD₁與直線(xiàn)B₁C所成的角即BC₁與直線(xiàn)B₁C所成的角；
（3）取D₁C的中點(diǎn)M，連接AM，B₁M，B₁A，證明∠AMB₁為二面角B₁-D₁C-A的平面角，計(jì)算用余弦定理，即可求得二面角B₁-D₁C-A的大小．

解答： （1）證明：連接AC，在△AD₁C中，
∵F為BD的中點(diǎn)，∴F為AC的中點(diǎn)
∵E為AD₁的中點(diǎn)，
∴EF∥D₁C
∵EF?平面B₁D₁C，D₁C?平面B₁D₁C
∴EF∥平面B₁D₁C；
（2）解：連接BC₁，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴BC₁∥AD₁，∴AD₁與直線(xiàn)B₁C所成的角即BC₁與直線(xiàn)B₁C所成的角，
∵正方形BCC₁B₁，∴BC₁⊥B₁C，∴直線(xiàn)AD₁與直線(xiàn)B₁C所成的角為90°．
（3）解：取D₁C的中點(diǎn)M，連接AM，B₁M，B₁A
∵△AD₁C為正三角形，M為CD₁的中點(diǎn)
∴AM⊥D₁C
同理，在正三角形B₁D₁C，B₁M⊥D₁C
∴∠AMB₁為二面角B₁-D₁C-A的平面角
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1
∴AM=

6

2

，B1M=

6

2

，B₁A=

2

，
∴cos∠AMB₁=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行，異面直線(xiàn)所成的角，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線(xiàn)面平行的判定定理，正確作出異面直線(xiàn)所成的角，面面角，屬于中檔題．