某建筑物的上半部分是多面體MN-ABCD,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1(如圖1).該建筑物的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2,其中正(主)視圖由正方形和等腰梯形組合而成,側(cè)(左)視圖由長(zhǎng)方形和等腰三角形組合而成.
(1)求線段AM的長(zhǎng);
(2)證明:平面ABNM⊥平面CDMN;
(3)求該建筑物的體積.

【答案】分析:(1)在平面ABNM中,作NF⊥AB于F,再過(guò)F作FE∥BC,交CD于E,連接EN.根據(jù)線面垂直的判定定理,可得AB⊥平面EFN.根據(jù)左視圖,可得△EFN是斜邊EF的等腰直角三角形,所以NF=,再用等腰梯形的性質(zhì),得到BF==1.最后在Rt△BFN中,算出BN=,結(jié)合四邊形ABNM是等腰梯形,得AM=BN=
(2)根據(jù)題意,可先結(jié)合線面垂直的判定定理,證出NF⊥平面CDMN,結(jié)合NF?平面ABNM,可得平面ABNM⊥平面CDMN;
(3)在平面BAMN內(nèi),作MN⊥AB于H,過(guò)H作HG∥BC交CD于G,連接MG.先證明平面MHG∥平面NFE,結(jié)合MN∥AB∥CD,AB⊥平面EFN,得到三棱柱MHG-NFE是直三棱柱.從而將該建筑物分為四部分:三棱柱MHG-NFE+四棱錐M-ADGH+四棱錐N-BCEF+長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,分別求出它們各自的體積,相加即得該建筑物的體積.
解答:解:(1)在平面ABNM中,作NF⊥AB于F,再過(guò)F作FE∥BC,交CD于E,連接EN
∵AB⊥NF,AB⊥EF,NF∩EF=F,
∴AB⊥平面EFN.
根據(jù)該建筑物的左視圖,可得△EFN是斜邊EF=2的等腰直角三角形.
∴NF=EF=
∵四邊形ABNM是等腰梯形,MN∥AB,NF是高,
∴BF==(4-2)=1.
∴Rt△BFN中,BN===
結(jié)合四邊形ABNM是等腰梯形,得AM=BN=
(2)∵NF⊥AB,MN∥AB,
∴NF⊥MN
又∵△EFN中,NF⊥NE,MN、NE是平面CDMN內(nèi)的相交直線,
∴NF⊥平面CDMN
∵NF?平面ABNM,
∴平面ABNM⊥平面CDMN;
(3)在平面BAMN內(nèi),作MN⊥AB于H,過(guò)H作HG∥BC交CD于G,連接MG,
∵平面BAMN中,MH、NF都與AB垂直
∴MH∥NF,
∵M(jìn)H?平面MHG,NF?平面MHG,
∴NF∥平面MHG,同理可得EF∥平面MHG.
∵NF、EF是平面NFE內(nèi)的相交直線
∴平面MHG∥平面NFE
又∵M(jìn)N∥AB∥CD,AB⊥平面EFN,
∴三棱柱MHG-NFE是直三棱柱.
可得:V三棱柱MHG-NFE=S△EFN×MN=×2×1×2=2,
又∵矩形ABCD中,F(xiàn)E∥BC,
∴SBCEF=BF×BC=1×2=2,可得V四棱錐N-BCEF=×SBCEF×1=
同理可得:V四棱錐M-ADGH=,
又∵V長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1=SABCD×A1A=2×4×4=32
∴該建筑物的體積為V=V三棱柱MHG-NFE+V四棱錐M-ADGH+V四棱錐N-BCEF+V長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1=
點(diǎn)評(píng):本題給出一個(gè)特殊建筑物,要求由三視圖還原實(shí)物圖,并求這個(gè)組合幾何體的面積,著重考查了組合體積、線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廣州二模)某建筑物的上半部分是多面體MN-ABCD,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1(如圖1).該建筑物的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2,其中正(主)視圖由正方形和等腰梯形組合而成,側(cè)(左)視圖由長(zhǎng)方形和等腰三角形組合而成.
(1)求線段AM的長(zhǎng);
(2)證明:平面ABNM⊥平面CDMN;
(3)求該建筑物的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廣州二模)某建筑物的上半部分是多面體MN-ABCD,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1(如圖1).該建筑物的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2,其中正(主)視圖由正方形和等腰梯形組合而成,側(cè)(左)視圖由長(zhǎng)方形和等腰三角形組合而成.
(1)求直線AM與平面ABCD,所成角的正弦值;
(2)求二面角A-MN-C的余弦值;
(3)求該建筑物的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年甘肅省高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分12分)

某建筑物的上半部分是多面體, 下半部分是長(zhǎng)方體(如圖). 該建筑物的正視圖和側(cè)視圖(如圖), 其中正(主)視圖由正方形和等腰梯形組合而成,側(cè)(左)視圖由長(zhǎng)方形和等腰三角形組合而成.

(Ⅰ)求直線與平面所成角的正弦值;

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)求該建筑物的體積.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

某建筑物的上半部分是多面體MN-ABCD,下半部分是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1(如圖1).該建筑物的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2,其中正(主)視圖由正方形和等腰梯形組合而成,側(cè)(左)視圖由長(zhǎng)方形和等腰三角形組合而成.
(1)求直線AM與平面ABCD,所成角的正弦值;
(2)求二面角A-MN-C的余弦值;
(3)求該建筑物的體積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案