Question

某建筑物的上半部分是多面體MN-ABCD，下半部分是長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁（如圖1）．該建筑物的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖2，其中正（主）視圖由正方形和等腰梯形組合而成，側(cè)（左）視圖由長方形和等腰三角形組合而成．
（1）求直線AM與平面ABCD，所成角的正弦值；
（2）求二面角A-MN-C的余弦值；
（3）求該建筑物的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面ABNM中，作NF⊥AB于F，再過F作FE∥BC，交CD于E，連接EN，先證明AB⊥平面EFN，再求出AM=BN=，利用M到平面ABCD的距離為1，即可求得直線AM與平面ABCD所成角的正弦值；
（2）根據(jù)AB⊥平面EFN，AB∥MN，可得∠ENF為二面角A-MN-C的平面角，利用NF=NE=，EF=2，即可求得二面角A-MN-C的平面角；
（3）在平面BAMN內(nèi)，作MN⊥AB于H，過H作HG∥BC交CD于G，連接MG．先證明平面MHG∥平面NFE，結(jié)合MN∥AB∥CD，AB⊥平面EFN，得到三棱柱MHG-NFE是直三棱柱．從而將該建筑物分為四部分：三棱柱MHG-NFE+四棱錐M-ADGH+四棱錐N-BCEF+長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，分別求出它們各自的體積，相加即得該建筑物的體積．
解答：解：（1）在平面ABNM中，作NF⊥AB于F，再過F作FE∥BC，交CD于E，連接EN
∵AB⊥NF，AB⊥EF，NF∩EF=F，
∴AB⊥平面EFN．
根據(jù)該建筑物的左視圖，可得△EFN是斜邊EF=2的等腰直角三角形．
∴NF=EF=
∵四邊形ABNM是等腰梯形，MN∥AB，NF是高，
∴BF=（AB-MN）=（4-2）=1．
∴Rt△BFN中，BN=
結(jié)合四邊形ABNM是等腰梯形，得AM=BN=．
∵M(jìn)到平面ABCD的距離為1
∴直線AM與平面ABCD所成角的正弦值為=
（2）∵AB⊥平面EFN，AB∥MN
∴∠ENF為二面角A-MN-C的平面角
在△ENF中，NF=NE=，EF=2，∴∠ENF=90°
∴二面角A-MN-C的平面角為90°
（3）在平面BAMN內(nèi)，作MN⊥AB于H，過H作HG∥BC交CD于G，連接MG，
∵平面BAMN中，MH、NF都與AB垂直
∴MH∥NF，
∵M(jìn)H?平面MHG，NF?平面MHG，
∴NF∥平面MHG，同理可得EF∥平面MHG．
∵NF、EF是平面NFE內(nèi)的相交直線
∴平面MHG∥平面NFE
又∵M(jìn)N∥AB∥CD，AB⊥平面EFN，
∴三棱柱MHG-NFE是直三棱柱．
可得：V_{三棱柱MHG-NFE}=S_△EFN×MN=×2×1×2=2，
又∵矩形ABCD中，F(xiàn)E∥BC，
∴S_BCEF=BF×BC=1×2=2，可得V_{四棱錐N-BCEF}=×S_BCEF×1=
同理可得：V_{四棱錐M-ADGH}=，
又∵V長方體ABCD-A1B1C1D1=SABCD×A1A=2×4×4=32
∴該建筑物的體積為V=V_{三棱柱MHG-NFE}+V_{四棱錐M-ADGH}+V_{四棱錐N-BCEF}+V_{長方體ABCD-A1B1C1D1}=．
點評：本題給出一個特殊建筑物，要求由三視圖還原實物圖，并求這個組合幾何體的面積，考查了組合體體積、線面垂直和線面角等知識點．