如圖正方體ABCD-A1B1C1D1,下面結(jié)論正確的是
 
(把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上)
①AC∥平面DA1C1;
②BD1⊥平面DA1C1; 
③過點(diǎn)B與異面直線AC和A1D所成角均為60°;  
④四面體DA1D1C1與ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球半徑之比為
3
3
;
⑤與平面DA1C1平行的平面與正方體的各個面都有交點(diǎn),則這個截面的周長為定值.
考點(diǎn):異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:①由于AC∥A1C1,利用線面平行的判定定理即可判斷出AC∥平面DA1C1;
②由于BD1⊥A1D,BD1⊥C1D,利用線面垂直的判定定理可得BD1⊥平面DA1C1;
③由于異面直線AC和A1D所成的角為60°,可得過點(diǎn)B與異面直線AC和A1D所成的角均為60°的直線有且只有1條.
④設(shè)AA1=a,可求得四面體DA1D1C1內(nèi)切球半徑為
1
3+
3
a,而正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球半徑為
1
2
a,即可得出所求的比.
⑤將正方體沿D1A1、A1B1、B1C、CD、DD1展開到一個平面上,如圖所示,易知截面多邊形EFGHIJ的周長為定值,等于3
2
a(a為正方體的棱長).
解答: 解:①∵AC∥A1C1,AC?平面A1C1D,A1C1?平面A1C1D,∴AC∥平面DA1C1,因此①正確;
②BD1⊥A1D,BD1⊥C1D,A1D∩C1D=D,∴BD1⊥平面DA1C1,因此②正確;
③∵異面直線AC和A1D所成的角為60°,∴過點(diǎn)B與異面直線AC和A1D所成的角均為60°的直線有且只有1條.故③錯誤.
④設(shè)AA1=a,可求得四面體DA1D1C1內(nèi)切球半徑為
1
3+
3
a,而正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球半徑為
1
2
a,故所求的比應(yīng)為1-
3
3
.故④錯誤.
⑤將正方體沿D1A1、A1B1、B1C、CD、DD1展開到一個平面上,如圖所示,易知截面多邊形EFGHIJ的周長為定值,等于3
2
a(a為正方體的棱長),故⑤正確.
綜上可知:正確的有①、②、⑤.
故答案為:①②⑤.
點(diǎn)評:本題綜合考查了線面平行于垂直的判定定理和性質(zhì)定理、異面直線所成的角、內(nèi)切球的性質(zhì)、展開圖等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力和計(jì)算能力,屬于難題.
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,
 

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x2
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2
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5
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66
3
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6
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