分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過討論t的范圍,求出函數(shù)的最小值即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為m=lnx+x+$\frac{2}{x}$有兩個不同的實(shí)數(shù)根,令h(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$,(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最小值,求出m的范圍,從而判斷f(1)+g(1)的符號即可;
(Ⅲ)問題轉(zhuǎn)化為存在x0∈[$\frac{1}{e}$,e]使得m≤${(\frac{2x{-x}^{2}}{lnx-x})}_{max}$成立,令k(x)=$\frac{2x{-x}^{2}}{lnx-x}$,x∈[$\frac{1}{e}$,e],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=lnx+1,
令f′(x)>0,解得:x>$\frac{1}{e}$,令f′(x)<0,解得:0<x<$\frac{1}{e}$,
∴f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)遞減,在($\frac{1}{e}$,+∞)遞增,
若t≥$\frac{1}{e}$,則f(x)在[t,t+2]遞增,
∴f(x)min=f(t)=tlnt+2,
若0<t<$\frac{1}{e}$,則f(x)在[t,$\frac{1}{e}$)遞減,在($\frac{1}{e}$,t+2]遞增,
∴f(x)min=f($\frac{1}{e}$)=2-$\frac{1}{e}$;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根,
即m=lnx+x+$\frac{2}{x}$有兩個不同的實(shí)數(shù)根,
令h(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$,(x>0),
即函數(shù)y=m和h(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$有兩個不同的交點(diǎn),
而h′(x)=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+2)(x-1)}{{x}^{2}}$,
令h′(x)>0,解得:x>1,令h′(x)<0,解得:0<x<1,
故h(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
故h(x)≥h(1)=3,
故m>3,
故f(1)+g(1)=3-m<0;
(Ⅲ)若存在x0∈[$\frac{1}{e}$,e]使得mf′(x)+g(x)≥2x+m成立,
即存在x0∈[$\frac{1}{e}$,e]使得m≤${(\frac{2x{-x}^{2}}{lnx-x})}_{max}$成立,
令k(x)=$\frac{2x{-x}^{2}}{lnx-x}$,x∈[$\frac{1}{e}$,e],則k′(x)=$\frac{(1-x)(2lnx-x)}{{(lnx-x)}^{2}}$,
易得2lnx-x<0,
令k′(x)>0,解得:x>1,令k′(x)<0,解得:x<1,
故k(x)在[$\frac{1}{e}$,1)遞減,在(1,e]遞增,
故k(x)的最大值是k($\frac{1}{e}$)或k(e),
而k($\frac{1}{e}$)=$\frac{2e-1}{{-e}^{2}-e}$<k(e)=$\frac{2e{-e}^{2}}{1-e}$,
故m≤$\frac{2e{-e}^{2}}{1-e}$.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,考查轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a≤-1 | B. | a≤2 | C. | a≥-1 | D. | a≤1 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | B. | -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | C. | -$\frac{4\sqrt{2}}{9}$ | D. | $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{2}$+1 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{3}$-1 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -$\frac{4\sqrt{2}}{9}$ | B. | -$\frac{2\sqrt{2}}{9}$ | C. | $\frac{2\sqrt{2}}{9}$ | D. | $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{2}+1$ | B. | $\sqrt{7}+1$ | C. | $\sqrt{2}$-1 | D. | $\sqrt{7}$-1 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
等級 | 不及格 | 及格 | 良好 | 優(yōu)秀 |
得分 | [70,90) | [90,110) | [110,130) | [130,150] |
頻數(shù) | 6 | a | 24 | b |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com