1.已知函數(shù)f(x)=xlnx+2,g(x)=x2-mx.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根,求證:f(1)+g(1)<0;
(Ⅲ)若存在x0∈[$\frac{1}{e}$,e]使得mf′(x)+g(x)≥2x+m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,通過討論t的范圍,求出函數(shù)的最小值即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為m=lnx+x+$\frac{2}{x}$有兩個不同的實(shí)數(shù)根,令h(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$,(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(x)的最小值,求出m的范圍,從而判斷f(1)+g(1)的符號即可;
(Ⅲ)問題轉(zhuǎn)化為存在x0∈[$\frac{1}{e}$,e]使得m≤${(\frac{2x{-x}^{2}}{lnx-x})}_{max}$成立,令k(x)=$\frac{2x{-x}^{2}}{lnx-x}$,x∈[$\frac{1}{e}$,e],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=lnx+1,
令f′(x)>0,解得:x>$\frac{1}{e}$,令f′(x)<0,解得:0<x<$\frac{1}{e}$,
∴f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)遞減,在($\frac{1}{e}$,+∞)遞增,
若t≥$\frac{1}{e}$,則f(x)在[t,t+2]遞增,
∴f(x)min=f(t)=tlnt+2,
若0<t<$\frac{1}{e}$,則f(x)在[t,$\frac{1}{e}$)遞減,在($\frac{1}{e}$,t+2]遞增,
∴f(x)min=f($\frac{1}{e}$)=2-$\frac{1}{e}$;
(Ⅱ)若方程f(x)+g(x)=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根,
即m=lnx+x+$\frac{2}{x}$有兩個不同的實(shí)數(shù)根,
令h(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$,(x>0),
即函數(shù)y=m和h(x)=lnx+x+$\frac{2}{x}$有兩個不同的交點(diǎn),
而h′(x)=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+2)(x-1)}{{x}^{2}}$,
令h′(x)>0,解得:x>1,令h′(x)<0,解得:0<x<1,
故h(x)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,
故h(x)≥h(1)=3,
故m>3,
故f(1)+g(1)=3-m<0;
(Ⅲ)若存在x0∈[$\frac{1}{e}$,e]使得mf′(x)+g(x)≥2x+m成立,
即存在x0∈[$\frac{1}{e}$,e]使得m≤${(\frac{2x{-x}^{2}}{lnx-x})}_{max}$成立,
令k(x)=$\frac{2x{-x}^{2}}{lnx-x}$,x∈[$\frac{1}{e}$,e],則k′(x)=$\frac{(1-x)(2lnx-x)}{{(lnx-x)}^{2}}$,
易得2lnx-x<0,
令k′(x)>0,解得:x>1,令k′(x)<0,解得:x<1,
故k(x)在[$\frac{1}{e}$,1)遞減,在(1,e]遞增,
故k(x)的最大值是k($\frac{1}{e}$)或k(e),
而k($\frac{1}{e}$)=$\frac{2e-1}{{-e}^{2}-e}$<k(e)=$\frac{2e{-e}^{2}}{1-e}$,
故m≤$\frac{2e{-e}^{2}}{1-e}$.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,考查轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

練習(xí)冊系列答案
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6.已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,1),B(1,0),C(0,-2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M滿足|$\overrightarrow{CM}$|=1,則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OM}$|的最大值是(  )
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11.某校為了解校園安全管理專項活動的成效,對全校3000名學(xué)生進(jìn)行一次安全意識測試,根據(jù)測試成績評定“優(yōu)秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四個等級,現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷,統(tǒng)計結(jié)果及對應(yīng)的頻率分布直方圖如下所示.
 等級 不及格 及格 良好 優(yōu)秀
 得分[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]
 頻數(shù) 6 a 24 b
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)試估計該校安全意識測試評定為“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù);
(Ⅲ)已知已采用分層抽樣的方法,從評定等級為“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中任選6人進(jìn)行強(qiáng)化培訓(xùn),現(xiàn)再從這6人中任選2人參加市級校園安全知識競賽,求選取的2人中有1人為“優(yōu)秀”的概率.

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