Question

（2012•安徽模擬）如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個(gè)常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫這個(gè)數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；
（Ⅱ）已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2對(duì)?n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題an+12-an2=an2-an-12，通過(guò)分解因式，利用{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，求出d=0，說(shuō)明{a_n}是常數(shù)列．
（Ⅱ）通過(guò){an2}為首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，求出

a

2 n

，由an2=2n+1bn得b_n，利用錯(cuò)位相減法求出S_n，通過(guò)不等式2n•Sn＞m•2n-2an2，推出m-3＜

3n+1

2n

恒成立，由歸納法原理推出n≥4時(shí)，3k+1＜2^k，求出m的取值范圍為m≤3．

解答：解：（Ⅰ）依題an+12-an2=an2-an-12
⇒（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
又{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則-d(an+1+an-an-an-1)=0⇒2d2=0⇒d=0
故{a_n}是常數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）由{a_n}是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列．
即{an2}為首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，

a

2 n

=4+2(n-1)=2n+2（6分）
由an2=2n+1bn得bn=

an2

2n+1

=

2n+2

2n+1

=

n+1

2n

Sn=1+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

         ①

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

  ②⇒

1

2

Sn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=

1

2

+1-

1

2n

-

n+1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

⇒Sn=3-

n+3

2n

（10分）
不等式2n•Sn＞m•2n-2an2即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4也即（m-3）•2ⁿ＜3n+1，即m-3＜

3n+1

2n

恒成立
由于n=1，2，3時(shí)，3n+1＞2ⁿ；n=4時(shí)，3n+1＜2ⁿ；
假設(shè)n=k（k≥4）時(shí)，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2•2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
由歸納法原理知：n≥4時(shí)，3k+1＜2^k，
所以

3n+1

2n

＞0⇒m-3≤0，
故m的取值范圍為m≤3（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的應(yīng)用，數(shù)列特征的判斷，數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．