Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（a，b）（a>b>0）為動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點.已知△F1PF2為等腰三角形.         （1）求橢圓的離心率e；

（2）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，M是直線PF2上的點，滿足=-2，求點M的軌跡方程.

Answer 1

【解析】（1）設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（c>0）.

由題意，可得PF2=F1F2，

即=2c，

整理得2得

=-1（舍），或.所以.

（2）由（1）知a=2c，b=c，

可得橢圓方程為3x2+4y2=12c2.

直線PF2的方程為y=（x-c）.

A、B兩點的坐標(biāo)滿足方程組，

消去y并整理，得5x2-8cx=0，

解得x1=0，x2=c，得方程組的解

不妨設(shè)

設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），則

由y= (x-c），得c=x-y.

于是，

.

由=-2，

即

化簡得18x2-16xy-15=0.

將代入c=x-y，得，

所以x>0.

因此，點M的軌跡方程是

18x2-16xy-15=0（x>0）.