Question

已知正方形ABCD的邊長為4,E、F分別是AB、AD的中點,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求點B到平面EFG的距離.

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩垂直,由此可建立空間直角坐標系,用向量法求解,即求出過B垂直于平面EFG的向量,它的模長即為點B到平面EFG的距離. 如圖所示,以C為原點,CB、CD、CG所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系C?I>xyz. 由題意知C(0,0,0),A(4,4,0),B(4,0,0),D(0,4,0),E(4,2,0),F(2,4,0),G(0,0,2). =(0,2,0),=(-2,4,0), =(-4,0,2),=(4,2,-2),=(-2,2,0). 設(shè)向量⊥平面GEF,垂足為M,則M、G、E、F四點共面, 故存在實數(shù)x,y,z,使 即=x(0,2,0)+y(-2,4,0)+z(-4,0,2) =(-2y-4z,2x+4y,2z). 由BM⊥平面GEF,得 于是 即 即 解得 ∴ ∴ 即點B到平面GEF的距離為. 解法二：利用BE在平面EFG的法向量n上的射影求點B到平面EFG的距離, 即d= 建立如解法一中圖所示的坐標系,同解法一得 =(0,2,0),=(4,2,-2),=(-2,2,0). 設(shè)平面GEF的法向量為n=(x,y,z),則有 令x=1,則y=1,z=3,∴n=(1,1,3). 點B到平面GEF的距離為 綠色通道： 用向量法求點到平面的距離,垂線段常常不必作出來,只需設(shè)出垂線段對應(yīng)的向量或平面的法向量,利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為解方程組求其法向量.