Question

【題目】已知圓O：x2+y2=4與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P在直線(xiàn)l： x+y﹣a=0上，過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為T(mén)
（1）若a=8，切點(diǎn)T（ ，﹣1），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若PA=2PT，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若不過(guò)原點(diǎn)O的直線(xiàn)與圓O交于B，C兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足直線(xiàn)OB，BC，OC的斜率依次成等比數(shù)列，求直線(xiàn)l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，直線(xiàn)PT切于點(diǎn)T，則OT⊥PT，

又切點(diǎn)T（ ，﹣1），所以kOT=﹣ ，∴kPT= ，

故直線(xiàn)PT的方程為y+1= （x﹣ ），即 ．

聯(lián)立直線(xiàn)l和PT， 解得 即P（2 ）

（2）解：設(shè)P（x，y），由PA=2PT，可得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），

即3x2+3y2﹣4x﹣20=0，即滿(mǎn)足PA=2PT的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓（x﹣ ）2+y2= ，

所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn) 與圓（x﹣ ）2+y2= ，有公共點(diǎn)，

所以d= ，解得

（3）解：當(dāng)直線(xiàn)BC垂直與x軸時(shí)，顯然不成立，所以設(shè)直線(xiàn)BC為y=kx+b（b≠0），

將它與圓方程聯(lián)立并消去y得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0，

設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），

則x1x2= ，x1+x2= ，因?yàn)閯ty1y2= ，

故kOBkOC= = =k2，

即b2（k2﹣1）=0，因?yàn)閎≠0，所以k2=1，即k=±1

【解析】（1）直線(xiàn)PT切于點(diǎn)T，則OT⊥PT，求出kOT ， kPT ， 直線(xiàn)l和PT，求出P的坐標(biāo)．（2）設(shè)P（x，y），由PA=2PT，求出點(diǎn)P的軌跡方程，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線(xiàn) 與圓（x﹣ ）2+y2= ，有公共點(diǎn)，列出不等式求解即可．（3）當(dāng)直線(xiàn)BC垂直與x軸時(shí)，顯然不成立，設(shè)直線(xiàn)BC為y=kx+b（b≠0），將它與圓方程聯(lián)立，設(shè)B（x1 ， y1），C（x2 ， y2），利用kOBkOC= = =k2 ， 求解即可．