Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項之和為S_n（n∈N^*），且滿足a_n+S_n=2n+1．
（1）求證數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：

1

2a1a2

+

1

22a2a3

+…+

1

2nanan+1

＜

1

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推式可得an=

1

2

an-1+1，變形an-2=

1

2

(an-1-2)，即可證明；
（2）

1

2nanan+1

=

2n+1

(2n+1-1)(2n+2-1)

=

1

2n+1-1

-

1

2n+2-1

，再利用“裂項求和”即可得出．

解答： 證明：（1）由a_n+S_n=2n+1，當n=1時，a₁+a₁=2+1，解得a1=

3

2

．
當n≥2時，a_n-1+S_n-1=2（n-1）+1，∴a_n-a_n-1+a_n=2，即an=

1

2

an-1+1，
變形an-2=

1

2

(an-1-2)，
∴數(shù)列{a_n-2}是等比數(shù)列，首項為a₁-2=-

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴an-2=-(

1

2

)n，
an=2-

1

2n

．
（2）

1

2nanan+1

=

2n+1

(2n+1-1)(2n+2-1)

=

1

2n+1-1

-

1

2n+2-1

，
∴

1

2a1a2

+

1

22a2a3

+…+

1

2nanan+1

=(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)+…+(

1

2n+1-1

-

1

2n+2-1

)
=

1

3

-

1

2n+2-1

＜

1

3

．

點評：本題考查了遞推式的應用、“裂項求和”方法、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．