Question

已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：存在實(shí)數(shù)x₀，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，總有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．求：
（1）f（1）+f（0）；  
（2）x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x₁=1，x₂=0，代入f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂），得到f（x₀）=f（x₀）+f（0）+f（1），此等式兩邊去掉同類項(xiàng)即可得到答案；
（2）令x₁=0，x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），結(jié)合第（1）問的結(jié)論，進(jìn)一步可得f（x₀）=f（1），再根據(jù)單調(diào)性求出x₀=1．

解答： 解：（1）因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，總有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立，
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（0）+f（1），
所以f（0）+f（1）=0．
（2）令x₁=0，x₂=0，代入f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂），
得到f（0）=f（x₀）+2f（0），
即f（x₀）=-f（0），
由第（1）問，f（0）+f（1）=0，∴f（1）=-f（0），
故f（x₀）=f（1）．
又因?yàn)閒（x）是單調(diào)函數(shù)，所以x₀=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，解決抽象函數(shù)關(guān)鍵是反復(fù)代換抽象函數(shù)中所給的條件，體現(xiàn)了運(yùn)算的靈活性．