Question

17．已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0．若x•f（x-1）＞0，則x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，3）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式等價轉(zhuǎn)化為x＞0時f（x-1）＞f（2），x＜0時，f（x-1）＜f（-2），即可得到結(jié)論．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，f（-2）=0；
∴x＞0時，不等式xf（x-1）＞0等價為f（x-1）＞f（2），
即x-1＜2，解得：0＜x＜3；
x＜0時：不等式xf（x-1）＞0等價為f（x-1）＜f（-2），
即x-1＜-2，解得：x＜-1，
故答案為：（-∞，-1）∪（0，3）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用，將不等式等價轉(zhuǎn)化為f（x-1）＞f（2）或f（x-1）＜f（-2）是解決本題的關(guān)鍵．