7.已知函數(shù)f(x)=ax2-$\frac{4}{x}$,其中a為常數(shù)
(1)根據(jù)a的不同值,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)若a∈(-2,-1),判斷函數(shù)f(x)在($\frac{1}{2}$,1)上的單調(diào)性,并說明理由.

分析 (1)分類討論,利用奇偶函數(shù)定義判斷.
(2)求解導(dǎo)數(shù)f′(x)=2ax$+\frac{4}{{X}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$,討論得出當(dāng)f′(x)≥0時,x≤$\root{3}{-\frac{2}{a}}$,當(dāng)f′(x)≤0時,x≥$\root{3}{-\frac{2}{a}}$,根據(jù)a∈(-2,-1),判斷$-\frac{2}{a}$∈(1,2),得出導(dǎo)數(shù)的符號即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=ax2-$\frac{4}{x}$,其中a為常數(shù),
①當(dāng)a=0時,f(x)=-$\frac{4}{x}$是奇函數(shù),
∵f(-x)=-$\frac{4}{-x}$=$\frac{4}{x}$=-f(-x)
∴當(dāng)a=0時,f(x)=-$\frac{4}{x}$是奇函數(shù),
②∵當(dāng)a≠0時,f(x)=-$\frac{4}{x}$是非奇非偶函數(shù),
f(-x)≠-f(-x),f(-x)≠f(-x)
∴當(dāng)a≠0時,f(x)=-$\frac{4}{x}$是非奇非偶函數(shù),
(2)∵函數(shù)f(x)在($\frac{1}{2}$,1)上的單調(diào)性,
∴f′(x)=2ax$+\frac{4}{{X}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$,
當(dāng)f′(x)≥0時,x≤$\root{3}{-\frac{2}{a}}$,當(dāng)f′(x)≤0時,x≥$\root{3}{-\frac{2}{a}}$,
∵a∈(-2,-1),∴$-\frac{2}{a}$∈(1,2),
∴$\root{3}{-\frac{2}{a}}$>1,
在($\frac{1}{2}$,1)上f′(x)>0,
∴函數(shù)f(x)在($\frac{1}{2}$,1)上的單調(diào)遞增函數(shù).

點評 本題綜合考查了函數(shù)性質(zhì),導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)綜合問題中的運(yùn)用,屬于中檔題,關(guān)鍵單調(diào)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

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