Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²-$\frac{4}{x}$，其中a為常數(shù)
（1）根據(jù)a的不同值，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若a∈（-2，-1），判斷函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用奇偶函數(shù)定義判斷．
（2）求解導(dǎo)數(shù)f′（x）=2ax$+\frac{4}{{X}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$，討論得出當(dāng)f′（x）≥0時，x≤$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，當(dāng)f′（x）≤0時，x≥$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，根據(jù)a∈（-2，-1），判斷$-\frac{2}{a}$∈（1，2），得出導(dǎo)數(shù)的符號即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-$\frac{4}{x}$，其中a為常數(shù)，
①當(dāng)a=0時，f（x）=-$\frac{4}{x}$是奇函數(shù)，
∵f（-x）=-$\frac{4}{-x}$=$\frac{4}{x}$=-f（-x）
∴當(dāng)a=0時，f（x）=-$\frac{4}{x}$是奇函數(shù)，
②∵當(dāng)a≠0時，f（x）=-$\frac{4}{x}$是非奇非偶函數(shù)，
f（-x）≠-f（-x），f（-x）≠f（-x）
∴當(dāng)a≠0時，f（x）=-$\frac{4}{x}$是非奇非偶函數(shù)，
（2）∵函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的單調(diào)性，
∴f′（x）=2ax$+\frac{4}{{X}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$，
當(dāng)f′（x）≥0時，x≤$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，當(dāng)f′（x）≤0時，x≥$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，
∵a∈（-2，-1），∴$-\frac{2}{a}$∈（1，2），
∴$\root{3}{-\frac{2}{a}}$＞1，
在（$\frac{1}{2}$，1）上f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的單調(diào)遞增函數(shù)．

點評 本題綜合考查了函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)綜合問題中的運(yùn)用，屬于中檔題，關(guān)鍵單調(diào)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．