已知數(shù)列{an}中,a1=數(shù)學(xué)公式,點(diǎn)(n,2an+1-an)在直線y=x上,其中n=1,2,3,….
(1)令bn=an+1-an-1,求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng).

解:(1)證明:a1=,2an+1=an+n,
∵a2=,a2-a1-1=--1=-,
又bn=an+1-an-1,bn+1=an+2-an+1-1,
=
===
bn=-×(n-1=-×
∴{bn}是以-為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.
(2)∵an+1-an-1=-×
∴a2-a1-1=-×,
a3-a2-1=-×
∴an-an-1-1=-×,
將以上各式相加得:
∴an-a1-(n-1)=-+++),
∴an=a1+n-1-×
=+(n-1)-(1-)=+n-2.
∴an=+n-2.
分析:(1)由題設(shè)條件,令n=1,得a2=,a2-a1-1=--1=-,再由bn=an+1-an-1,bn+1=an+2-an+1-1,得到==.所以bn}是等比數(shù)列.
(2)由an+1-an-1=-×,知a2-a1-1=-×,a3-a2-1=-×,an-an-1-1=-×,將以上各式相加得到數(shù)列{an}的通項(xiàng).
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意累加求和法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項(xiàng)公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
1
an
的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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