Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=，點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，其中n=1，2，3，…．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．

Answer 1

解：（1）證明：a₁=，2a_n+1=a_n+n，
∵a₂=，a₂-a₁-1=--1=-，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴=
===．
b_n=-×（）^n-1=-×，
∴{b_n}是以-為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
（2）∵a_n+1-a_n-1=-×，
∴a₂-a₁-1=-×，
a₃-a₂-1=-×，
∴a_n-a_n-1-1=-×，
將以上各式相加得：
∴a_n-a₁-（n-1）=-（+++），
∴a_n=a₁+n-1-×
=+（n-1）-（1-）=+n-2．
∴a_n=+n-2．
分析：（1）由題設(shè)條件，令n=1，得a₂=，a₂-a₁-1=--1=-，再由b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，得到==．所以b_n}是等比數(shù)列．
（2）由a_n+1-a_n-1=-×，知a₂-a₁-1=-×，a₃-a₂-1=-×，a_n-a_n-1-1=-×，將以上各式相加得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加求和法的合理運(yùn)用．