Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2 sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．
（1）當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足 = ， =2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2 sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3

= sin2x﹣3 ﹣ +3

= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[ ，1]，則2sin（2x+ ）+1∈[0，3]，

即函數(shù)f（x）=2sin（2x+ ）+1的值域是[0，3]

（2）解：∵ =2+2cos（A+C），

∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），

sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），

﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，

由正弦定理可得c=2a，又由 = 可得b= a，

由余弦定理可得cosA= = = ，

又0°＜A＜180°，∴A=30°，

則sinC=2sinA=1，即C=90°，

∴B=180°﹣A﹣C=60°，

∴f（B）=f（ ）=2sin（ + ）+1=2

【解析】（1）由二倍角公式以及變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出2x+ 的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域；（2）由兩角和與差的正弦公式、正弦定理化簡已知的式子，由條件和余弦定理求出cosA的值，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由三角形的內(nèi)角和定理求出B，代入可得f（B）的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了兩角和與差的正弦公式和正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦定理:才能正確解答此題．