Question

12．已知n=9$\int_{-1}^1{x^2}$dx，在二項(xiàng)式${（x-\frac{2}{x}）^n}$的展開(kāi)式中，x²的系數(shù)是60．

Answer 1

分析 運(yùn)用定積分公式，求得n=6，再求二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)整理，解方程可得r，進(jìn)而得到所求系數(shù)．

解答 解：n=9$\int_{-1}^1{x^2}$dx=9×$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-1}^{1}$=9×$\frac{2}{3}$=6，
二項(xiàng)式（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為
T_r+1=${C}_{6}^{r}$x^6-r（-$\frac{2}{x}$）^r=${C}_{6}^{r}$x^6-2r（-2）^r，r=0，1，2，…，6，
令6-2r=2，解得r=2，
則x²的系數(shù)是${C}_{6}^{2}$（-2）²=60．
故答案為：60．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用：求指定項(xiàng)的系數(shù)，同時(shí)考查定積分的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．