Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；
（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，求|

OD

|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量垂直的條件，分∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°解得即可；
（2）由題意得

AD

=

BC

，求得D的坐標(biāo)D（10-t，t-2），利用求模公式即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得

AB

=（t-4，2），

AC

=（2，t），

BC

=（6-t，t-2），
若∠A=90°，則

AB

•

AC

=0，即2（t-4）+2t=0，∴t=2；
若∠B=90°，則

AB

•

BC

=0，即（t-4）（6-t）+2（t-2）=0，∴t=6±2

2

；
若∠C=90°，則

AC

•

BC

=0，即2（6-t）+t（t-2）=0，無(wú)解，
∴滿(mǎn)足條件的t的值為2或6±2

2

．
（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，則

AD

=

BC

，設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），
即（x-4，y）=（6-t，t-2），∴

x-4=6-t y=t-2

即D（10-t，t-2），
∴|

OD

|=

(10-t)2+(t-2)2

=

2t2-24t+104

，
∴當(dāng)t=6時(shí)，|

OD

|的最小值為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量垂直的充要條件的應(yīng)用及向量相等等知識(shí)，屬于中檔題．