Question

已知函數(shù)f（x）=

x

3x+1

，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)等于1且公比等于f（1）的等比數(shù)列；數(shù)列{b_n}首項(xiàng)b₁=

1

3

，滿足遞推關(guān)系b_n+1=f（b_n）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論，使用乘公比錯(cuò)位相減法求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

x

3x+1

，
則：f（1）=

1

4

由于：數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)等于1且公比等于f（1）的等比數(shù)列，
所以：an=(

1

4

)n-1
數(shù)列{b_n}首項(xiàng)b₁=

1

3

，滿足遞推關(guān)系b_n+1=f（b_n）．
則：bn+1=

bn

3bn+1

整理得：

1

bn+1

-

1

bn

=3
所以：{

1

bn

}是以

1

b1

=

1

3

為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
解得：bn=

1

3n

（Ⅱ）cn=

an

bn

=3n•(

1

4

)n-1
則：T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•(

1

4

)0+6•(

1

4

)1+…+3n•(

1

4

)n-1^n-1①

1

4

Tn=3•(

1

4

)1+6•(

1

4

)2+…+3n•(

1

4

)nⁿ②
則：①-②得：

3

4

Tn=3•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

-

3n

4n

=4-

4+3n

4n

所以：Tn=

16

3

-

3n+4

3•4n-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．