Question

若對任意2≤x≤5，

x

x2+3x+1

≤a恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：

x

x2+3x+1

≤a恒成立，只要

x

x2+3x+1

的最大值≤a，故轉化為求

x

x2+3x+1

，2≤x≤5的最大值問題．
將分子分母同除以x，分母上函數的單調性求最值即可．

解答：解：因為2≤x≤5，所以令y=x+

1

x

，則y′=1-

1

x2

＞0，
所以y=x+

1

x

在[2，5]上單調遞增，所以x=2時，y有最小值

5

2

所以有

x

x2+3x+1

=

1

x+ 1 x +3

≤

1

5 2 +3

=

2

11

，
即

x

x2+3x+1

的最大值為

2

11

，故a≥ 

2

11

．
故答案為：a≥

2

11

點評：本題考查不等式恒成立問題、分式不等式求最值、基本不等式求最值的條件等，考查轉化思想．