已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左焦點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為
3
2
2
,左焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為
2
-1
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)直線l過(guò)點(diǎn)M(2,0)交橢圓于A,B兩點(diǎn),是否存在點(diǎn)N(t,0),使得
AB
NA
=
BA
NB
,若存在,求出t的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(Ⅰ)設(shè)左焦點(diǎn)F1(-c,0),由已知得|c+2|=3,a-c=
2
-1
,由此能求出橢圓的方程.
(Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)t,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),設(shè)直線方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
,得x2+2k2(x-2)2=2,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量知識(shí)等結(jié)合已知條件能求出存在0≤t<
1
2
解答: 解:(Ⅰ)設(shè)左焦點(diǎn)F1(-c,0),
則F1到直線x-y+2=0的距離d=
|c-2|
2
=
3
2
2
,
|c+2|=3,解得c=1或c=5(舍),
又∵a-c=
2
-1
,∴a=
2
,∴b2=2-1=1,
∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)t,當(dāng)直線斜率不存在時(shí),
設(shè)直線方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
,得x2+2k2(x-2)2=2,
整理,得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,
△=(-8k22-4(2k2+1)(8k2-2)>0,
化簡(jiǎn),得-16k2+8>0,即k2
1
2
,
x1+x2=
8k2
2k2+1
x1x2=
8k2-2
2k2+1
,
設(shè)AB中點(diǎn)為Q(x0,y0),則Q(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
),
x0=
4k2
2k2+1
,y0=k(
4k2
2k2+1
-2)-
-2k
2k2+1
,
AB
NA
=
BA
NB
,∴
AB
•(
NA
+
NB
)
=0,
當(dāng)k=0時(shí),A(-
5
,0),B(
5
,0),
AB
•(
NA
+
NB
)=4
5
t=0
,解得t=0,
當(dāng)k≠0時(shí),kNQ=
-2k
2k2+1
4k2
2k2+1
-t
=-
1
k
,
2k2
4k2-t(2k2+1)
=1
,解得t=
2k2
2k2+1

k2
1
2
,∴0<t<
1
2
,
∴存在0≤t<
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列各組向量中,可以作為基底的是( 。
A、(0,0)和(1,-2)
B、(-1,2)和(5,7)
C、(3,5)和(6,10)
D、(2,-3)和(
1
2
,-
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)F(0,
1
2
),直線l:y=-
1
2
,點(diǎn)N為l上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)N作直線l1⊥l.l2為NF的中垂線,l1與l2交于點(diǎn)M,點(diǎn)M的軌跡為曲線C
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)若E為曲線C上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作曲線C的切線交直線l于點(diǎn)Q,問(wèn)在y軸上是否存在一定點(diǎn),使得以EQ為直徑的圓過(guò)該點(diǎn),如果存在,求出該點(diǎn)坐標(biāo),若不存在說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某部門為了了解用電量y(單位:度)與氣溫x(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,因某天統(tǒng)計(jì)的用電量數(shù)據(jù)丟失,用t表示,如下表:
氣溫(℃)181310-1
用電量(度)24t3864
(1)由以上數(shù)據(jù),求這4天氣溫的方差.
(2)若用電量與氣溫之間具有較好的線性相關(guān)關(guān)系,回歸直線方程為
y
=-2x+b,且預(yù)測(cè)氣溫為-4℃時(shí),用電量為68度,求t、b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其地理成績(jī)(均為整數(shù))分成四段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后畫出如圖所示頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)估計(jì)這次考試的眾數(shù)m與中位數(shù)n(結(jié)果保留一位小數(shù));
(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分以上為及格)和平均分.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)=
π
2
x+3, x<0
0 , x=0
π
2
x-5 , x>0
請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法框圖,要求輸入自變量,輸出函數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=x2-4x+5.
(Ⅰ)求f(2)的值;
(Ⅱ)若f(a)=10,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(Ⅰ)已知cosα=-
3
5
,且α∈(
π
2
,π),求sinα,tanα的值;
(Ⅱ)化簡(jiǎn):sin420°cos330°+sin(-690°)cos(-660°).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={x|1<x<3},B={x|2≤x≤4}.
(1)試定義一種新的集合運(yùn)算△,使A△B={x|1<x<2};
(2)按(1)的運(yùn)算,求B△A.

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同步練習(xí)冊(cè)答案