Question

8．已知圓C：（x-2）²+y²=3．
（Ⅰ）若過定點（-1，0）且傾斜角α=30°的直線l與圓C相交于A，B兩點，求線段AB的中點P的坐標；
（Ⅱ）從圓C外一點P作圓C的一條切線，切點為M，O為坐標原點，且|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標．

Answer 1

分析 （I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．過定點（-1，0）且傾斜角為α=30°的直線l方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）．與圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點坐標公式即可得出．
先（Ⅱ）確定P的軌跡方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答 解：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
過定點（-1，0）且傾斜角為α=30°的直線l方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）．
代入圓方程可化為2x²-5x+2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，
∴x_P=$\frac{5}{4}$，y_P=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴P（$\frac{5}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．
（Ⅱ）因為|PO|²+r²=|PC|²，所以x₁²+y₁²+3=（x₁-2）²+y₁²，即4x₁-1=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
當直線PO垂直于直線4x-1=0時，得P點坐標（$\frac{1}{4}$，0）．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．