Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（1）證明f（x）+f（﹣ ）≥2；
（2）若不等式f（x）+f（2x）＜ 的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a＜0，

則f（x）+f（﹣ ）=|x﹣a|+|﹣ ﹣a|

=|x﹣a|+| +a|≥|（x﹣a）+（ +a）|

=|x+ |=|x|+ ≥2 =2．

（2）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．

當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，則f（x）≥﹣a；

當(dāng)a＜x＜ 時(shí)，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，則﹣ ＜f（x）＜﹣a；

當(dāng)x 時(shí)，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，則f（x）≥﹣ ．

則f（x）的值域?yàn)閇﹣ ，+∞），

不等式f（x）+f（2x）＜ 的解集非空，即為

＞﹣ ，解得，a＞﹣1，由于a＜0，

則a的取值范圍是（﹣1，0）

【解析】（1）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和基本不等式，即可得證；（2）通過對(duì)x的范圍的分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．