Question

如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在正方形ABCD的四個頂點(diǎn)上按逆時針方向前進(jìn)． 現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標(biāo)有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字． 質(zhì)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，規(guī)則如下：當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)一步（如由A到B）；當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點(diǎn)P前兩步（如由A到C），當(dāng)正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點(diǎn)P前進(jìn)三步（如由A到D）． 在質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．
（1）求點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率；
（2）在點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果中，用隨機(jī)變量ξ表示點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)的投擲次數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）投擲一次正方體玩具，每個數(shù)字在上底面出現(xiàn)是等可能的，其概率為

1

3

．分①若投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn)、②若投擲三次質(zhì)點(diǎn)P
恰能返回到A點(diǎn)、③若投擲四次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)三種情況，分別求得它們的概率，再相加，即得所求．
（2）由（1）知，質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種情況，且ξ的可能取值為2，3，4．再求得ξ取每個值的概率，再由數(shù)學(xué)期望
的定義求得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）投擲一次正方體玩具，因每個數(shù)字在上底面出現(xiàn)是等可能的，故其概率P₁=

2

6

=

1

3

．
易知只投擲一次不可能返回到A點(diǎn)．
①若投擲兩次質(zhì)點(diǎn)P就恰好能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字，
應(yīng)依次為：（1，3）、（3，1）、（2，2）三種結(jié)果，其概率為P₂=（

1

3

）²×3=

1

3

．
②若投擲三次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字，
應(yīng)依次為：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三種結(jié)果，其概率為P₃=（

1

3

）³×3=

1

9

．
③若投擲四次質(zhì)點(diǎn)P恰能返回到A點(diǎn)，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應(yīng)依次為：（1，1，1，1），
其概率為P₄=(

1

3

)4=

1

81

．
所以，質(zhì)點(diǎn)P恰好返回到A點(diǎn)的概率為：P=P2+P3+P4=

1

3

+

1

9

+

1

81

=

37

81

．
（2）由（1）知，質(zhì)點(diǎn)P轉(zhuǎn)一圈恰能返回到A點(diǎn)的所有結(jié)果共有以上問題中的7種情況，
且ξ的可能取值為2，3，4．
則P（ξ=2）=

1 3

37 81

=

27

37

，P（ξ=3）=

1 9

37 81

=

9

37

，P（ξ=4）=

1 81

37 81

=

1

37

，故ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	27 37	9 37	1 37

所以，Eξ=2×

27

37

+3×

9

37

+4×

1

37

=

85

37

．

點(diǎn)評：本題主要考查古典概型及其概率計算公式的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．